在概率论和统计学中，泊松分布是一种用于描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。它适用于那些稀有事件的发生场景，例如某段时间内电话铃声响起的次数、放射性物质释放的粒子数等。

泊松分布的数学表达式可以表示为：

\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

其中：

- \( P(X = k) \) 表示随机变量 \( X \) 取值为 \( k \) 的概率；

- \( \lambda \) 是单位时间或单位空间内事件发生的平均次数（即泊松分布的参数）；

- \( e \) 是自然对数的底数，约等于 2.718；

- \( k! \) 表示 \( k \) 的阶乘。

这个公式的意义在于，通过已知的平均发生率 \( \lambda \)，我们可以计算出特定事件发生 \( k \) 次的概率。泊松分布的一个重要特性是它的期望值和方差都等于 \( \lambda \)，这使得它在实际应用中非常有用。

例如，在一个小时内，某个呼叫中心接收到的电话数量可能服从泊松分布。如果历史数据显示平均每小时接收到 5 个电话 (\( \lambda = 5 \))，那么我们就可以利用上述公式来计算接收到不同数量电话的概率。

泊松分布的应用范围很广，包括但不限于通信工程、生物学、金融等领域。通过合理地设定参数 \( \lambda \)，它可以有效地帮助我们理解和预测各种随机现象中的规律性行为。