【已知i为虚数单位, 则】在数学中，虚数单位 $ i $ 是一个重要的概念，它定义为满足 $ i^2 = -1 $ 的数。通过引入 $ i $，我们能够扩展实数的范围，从而得到复数系统，使得许多在实数范围内无解的方程在复数范围内有解。
以下是对与 $ i $ 相关的基本运算和性质的总结：
一、基本定义
| 概念 | 定义 |
| 虚数单位 $ i $ | 满足 $ i^2 = -1 $ 的数 |
| 复数 | 形如 $ a + bi $ 的数，其中 $ a $ 和 $ b $ 为实数，$ i $ 为虚数单位 |
二、幂次运算规律
$ i $ 的幂次具有周期性，每四次循环一次：
| $ i^n $ | 值 |
| $ i^0 $ | 1 |
| $ i^1 $ | $ i $ |
| $ i^2 $ | $ -1 $ |
| $ i^3 $ | $ -i $ |
| $ i^4 $ | 1 |
| $ i^5 $ | $ i $ |
| ... | ... |
三、复数的加减乘除
| 运算 | 公式 | 示例 |
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | $ (2 + 3i) + (1 - 4i) = 3 - i $ |
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | $ (5 - 2i) - (3 + i) = 2 - 3i $ |
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | $ (1 + i)(2 + i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot i + i \cdot 2 + i \cdot i = 2 + i + 2i - 1 = 1 + 3i $ |
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} $ | $ \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)^2}{1^2 + 1^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{1 + 2i -1}{2} = \frac{2i}{2} = i $ |
四、共轭与模
| 概念 | 定义 | 示例 | ||||
| 共轭复数 | $ \overline{a + bi} = a - bi $ | $ \overline{3 + 4i} = 3 - 4i $ | ||||
| 模 | $ | a + bi | = \sqrt{a^2 + b^2} $ | $ | 2 + 3i | = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $ |
五、应用领域
- 工程学：在电路分析中用于表示交流电的相位差。
- 物理学：在量子力学中描述波函数。
- 信号处理：用于傅里叶变换等数学工具中。
通过理解 $ i $ 的定义和相关运算规则，我们可以更深入地掌握复数的概念，并将其应用于多个科学和工程领域。
