【log对数函数基本十个公式】在数学中，对数函数是指数函数的反函数，广泛应用于科学、工程、计算机等领域。掌握对数的基本公式，有助于快速解决相关问题。以下是log对数函数的十个基本公式，以加表格的形式呈现。
一、对数函数基本公式总结
1. 定义式：
对数函数的定义为：若 $ a^b = x $，则 $ \log_a x = b $，其中 $ a > 0, a \neq 1 $，$ x > 0 $。
2. 换底公式：
用于将任意底数的对数转换为常用对数或自然对数，公式为：
$$
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
$$
其中 $ c $ 是任意正数且 $ c \neq 1 $。
3. 乘积的对数：
$$
\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y
$$
4. 商的对数：
$$
\log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y
$$
5. 幂的对数：
$$
\log_a (x^n) = n \log_a x
$$
6. 对数的倒数：
$$
\log_a b = \frac{1}{\log_b a}
$$
7. 对数的恒等式：
$$
a^{\log_a x} = x
$$
8. 自然对数与常用对数的关系：
自然对数 $ \ln x = \log_e x $，常用对数 $ \log x = \log_{10} x $，两者之间可通过换底公式相互转换。
9. 对数的底数互换：
$$
\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} \quad \text{或} \quad \log_a b = \frac{\log b}{\log a}
$$
10. 对数的求导公式（微积分基础）：
若 $ y = \log_a x $，则其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln a}
$$
二、对数函数基本公式表格
| 序号 | 公式名称 | 公式表达式 |
| 1 | 定义式 | $ \log_a x = b \iff a^b = x $ |
| 2 | 换底公式 | $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $ |
| 3 | 乘积的对数 | $ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y $ |
| 4 | 商的对数 | $ \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y $ |
| 5 | 幂的对数 | $ \log_a (x^n) = n \log_a x $ |
| 6 | 对数的倒数 | $ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $ |
| 7 | 对数的恒等式 | $ a^{\log_a x} = x $ |
| 8 | 自然对数与常用对数 | $ \ln x = \log_e x $, $ \log x = \log_{10} x $ |
| 9 | 底数互换 | $ \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} $ |
| 10 | 导数公式 | $ \frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a} $ |
通过掌握以上十个基本对数公式，可以更高效地进行对数运算和相关问题的求解。这些公式不仅是初等数学的基础内容，也是高等数学和应用科学中的重要工具。
