【sinz分之一的孤立奇点是什么】在复变函数中，孤立奇点是函数在某一点附近不解析（即不可导）但该点本身是一个极限点的情况。对于函数 $ f(z) = \frac{1}{\sin z} $，我们需要分析其在哪些点上存在孤立奇点，并判断这些奇点的类型。
一、函数的基本性质
函数 $ f(z) = \frac{1}{\sin z} $ 是一个复变函数，定义域为所有使得 $ \sin z \neq 0 $ 的复数 $ z $。由于正弦函数在实轴上的零点为 $ z = n\pi $（$ n \in \mathbb{Z} $），因此在复平面上，$ \sin z = 0 $ 的解也是 $ z = n\pi $，其中 $ n $ 为整数。
因此，函数 $ f(z) = \frac{1}{\sin z} $ 在 $ z = n\pi $ 处无定义，这些点就是可能的孤立奇点。
二、孤立奇点的类型分析
我们对每个 $ z = n\pi $ 进行分析：
- 当 $ z = n\pi $ 时，$ \sin z = 0 $，所以 $ f(z) $ 在该点不解析。
- 我们需要判断这些奇点是否为可去奇点、极点或本性奇点。
分析方法：
考虑极限 $ \lim_{z \to n\pi} (z - n\pi)^k f(z) $，若该极限存在且有限，则说明该点是极点，且阶数为 $ k $；若极限为零，则可能是可去奇点；若极限不存在或为无穷大，则为本性奇点。
对于 $ f(z) = \frac{1}{\sin z} $，我们知道：
$$
\sin z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}
$$
因此，在 $ z = n\pi $ 附近，可以展开为泰勒级数，发现 $ \sin z $ 在 $ z = n\pi $ 处的一阶导数不为零，说明该点是 $ \sin z $ 的简单零点。
于是，$ f(z) = \frac{1}{\sin z} $ 在 $ z = n\pi $ 处具有一阶极点。
三、总结与表格
| 点 $ z $ | 是否为奇点 | 奇点类型 | 说明 |
| $ z = n\pi $ | 是 | 极点 | $ \sin z $ 在该点为一阶零点，故 $ \frac{1}{\sin z} $ 有一阶极点 |
四、结论
函数 $ f(z) = \frac{1}{\sin z} $ 在所有 $ z = n\pi $（$ n \in \mathbb{Z} $）处有一阶极点，这些点都是孤立奇点，且均为极点，不是可去奇点或本性奇点。
因此，$ \frac{1}{\sin z} $ 的孤立奇点是 $ z = n\pi $，且均为一阶极点。
