【对勾函数的最小值怎么求】在数学中，对勾函数（也称为“双曲函数”或“反比例函数与一次函数的组合”）通常指的是形如 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 的函数，其中 $ a > 0 $、$ b > 0 $，且 $ x \neq 0 $。这类函数的图像呈“对勾”形状，因此得名。
要找到这种函数的最小值，可以通过导数法或不等式法进行分析。下面将从原理和方法两个方面进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、对勾函数最小值的求解方法总结
| 方法 | 原理 | 步骤 | 适用范围 |
| 导数法 | 利用导数求极值点，再判断极小值 | 1. 求导；2. 解导数为零的方程；3. 判断极小值 | 所有可导的对勾函数 |
| 不等式法（均值不等式） | 利用 $ ax + \frac{b}{x} \geq 2\sqrt{ab} $ | 1. 确定正数条件；2. 应用不等式；3. 判断等号成立条件 | 当 $ x > 0 $ 时有效 |
二、具体步骤详解
1. 导数法求最小值
以函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 为例：
- 第一步：求导
$$
f'(x) = a - \frac{b}{x^2}
$$
- 第二步：令导数为零
$$
a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}
$$
- 第三步：判断极值类型
- 当 $ x > 0 $ 时，$ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 是极小值点；
- 当 $ x < 0 $ 时，$ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 是极大值点。
- 第四步：计算最小值
$$
f\left( \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = a \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{\sqrt{\frac{b}{a}}} = 2\sqrt{ab}
$$
2. 不等式法求最小值
根据均值不等式（AM ≥ GM）：
$$
ax + \frac{b}{x} \geq 2\sqrt{ax \cdot \frac{b}{x}} = 2\sqrt{ab}
$$
当且仅当 $ ax = \frac{b}{x} $，即 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时取等号，此时取得最小值 $ 2\sqrt{ab} $。
三、结论
| 项目 | 内容 |
| 函数形式 | $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $，其中 $ a > 0, b > 0 $ |
| 最小值 | $ 2\sqrt{ab} $ |
| 取得最小值的点 | $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ |
| 适用条件 | $ x > 0 $（若要求最小值则需考虑正区间） |
四、注意事项
- 若题目中未明确限定定义域，需注意函数在 $ x < 0 $ 区间可能没有最小值；
- 实际应用中，应结合题目的具体条件选择合适的方法；
- 对勾函数在经济、物理等领域常用于优化问题，如成本最小化、效率最大化等。
通过以上方法，可以高效、准确地求出对勾函数的最小值。无论是使用导数还是不等式，关键在于理解函数的结构和变化趋势。
