【商的求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。对于两个可导函数相除所形成的复合函数，我们称之为“商”，而对这类函数进行求导时，需要用到“商的求导法则”。以下是对商的求导公式的总结，并通过表格形式清晰展示其应用方式。
一、商的求导公式概述
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则根据商的求导法则，其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式也常被称为“商法则”（Quotient Rule）。它与乘积法则类似，但需要注意符号的变化：分子部分是“前导后不导减去后导前不导”。
二、商的求导公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 商的求导公式 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 用于计算两个可导函数相除后的导数 |
| 口诀记忆法 | “上导下不导，减去下导上不导，分母平方不变” | 帮助记忆分子和分母的结构 |
| 注意事项 | 分母不能为零，即 $ v(x) \neq 0 $ | 否则函数无定义，无法求导 |
三、典型例题解析
例1：已知 $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $，求 $ f'(x) $
解：
- 设 $ u = x^2 $，$ v = \sin x $
- 则 $ u' = 2x $，$ v' = \cos x $
- 根据公式得：
$$
f'(x) = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{(\sin x)^2}
$$
例2：已知 $ g(x) = \frac{\ln x}{e^x} $，求 $ g'(x) $
解：
- 设 $ u = \ln x $，$ v = e^x $
- 则 $ u' = \frac{1}{x} $，$ v' = e^x $
- 根据公式得：
$$
g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot e^x - \ln x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x (1/x - \ln x)}{e^{2x}} = \frac{1/x - \ln x}{e^x}
$$
四、总结
商的求导公式是微积分中的基础内容之一，掌握好这一法则有助于解决更多复杂函数的求导问题。通过理解其结构、记忆口诀以及多做练习，可以更熟练地运用该公式。在实际应用中，还需注意函数的定义域，确保分母不为零，避免出现数学错误。
如需进一步了解其他求导法则（如链式法则、乘积法则等），可继续关注相关内容。
