【点到平面的距离公式】在三维几何中，计算一个点到一个平面的距离是一个常见的问题。这个距离的计算不仅在数学中有重要意义，在工程、物理和计算机图形学等领域也有广泛应用。本文将对“点到平面的距离公式”进行简要总结，并通过表格形式展示相关公式及其应用场景。

一、点到平面的距离公式

设有一个点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 和一个平面 $ \pi $，其一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中，$ A, B, C $ 是平面的法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $ 的分量，$ D $ 是常数项。

那么，点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 可以用以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

该公式的核心思想是：利用点与平面上任意一点的向量在法向量上的投影长度，来求出点到平面的最短距离。

二、公式应用说明

三、实例解析

例题：

已知点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - 3y + 6z - 5 = 0 $，求点 $ P $ 到该平面的距离。

解：

代入公式：

$$

d = \frac{2(1) - 3(2) + 6(3) - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 5}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{9}{\sqrt{49}} = \frac{9}{7}

$$

因此，点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac{9}{7} $。

四、注意事项

- 公式中的分子部分为点坐标代入平面方程后的绝对值；

- 分母是法向量的模长，用于归一化；

- 若点在平面上，则距离为零；

- 公式适用于任何平面，只要其方程可以表示为一般式。

五、总结

点到平面的距离公式是解决空间几何问题的重要工具。它不仅帮助我们理解点与平面之间的关系，也为实际应用提供了数学基础。掌握该公式的推导与使用方法，有助于提升对三维几何的理解和应用能力。