【全微分方程的通解公式】在微分方程中，全微分方程是一类具有特殊结构的方程，其特点是方程左边可以表示为某个二元函数的全微分。这类方程通常形式为：
$$
M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0
$$
如果存在一个函数 $ u(x, y) $，使得：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = M(x, y), \quad \frac{\partial u}{\partial y} = N(x, y)
$$
那么该方程就是全微分方程，且其通解为：
$$
u(x, y) = C
$$
其中 $ C $ 是任意常数。
全微分方程的判断条件
全微分方程成立的充要条件是：
$$
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
$$
若该条件成立，则方程为全微分方程；否则，需要通过积分因子进行转化。
全微分方程的通解求法步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 验证是否为全微分方程：检查 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ |
| 2 | 若满足条件，则寻找原函数 $ u(x, y) $，使其满足：$\frac{\partial u}{\partial x} = M$，$\frac{\partial u}{\partial y} = N$ |
| 3 | 积分 $ M(x, y) $ 关于 $ x $，得到 $ u(x, y) $ 的一部分表达式 |
| 4 | 对结果关于 $ y $ 求导，与 $ N(x, y) $ 比较，确定积分常数项 |
| 5 | 组合所有部分，得到 $ u(x, y) $，并写出通解 $ u(x, y) = C $ |
示例
考虑方程：
$$
(2xy + y^2) \, dx + (x^2 + 2xy) \, dy = 0
$$
- $ M(x, y) = 2xy + y^2 $
- $ N(x, y) = x^2 + 2xy $
验证：
$$
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x + 2y,\quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x + 2y
$$
条件成立，为全微分方程。
接下来找 $ u(x, y) $：
1. 积分 $ M $ 关于 $ x $：
$$
u(x, y) = \int (2xy + y^2) \, dx = x^2 y + xy^2 + f(y)
$$
2. 对 $ u $ 关于 $ y $ 求导：
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + 2xy + f'(y)
$$
比较得：
$$
x^2 + 2xy + f'(y) = x^2 + 2xy \Rightarrow f'(y) = 0 \Rightarrow f(y) = C
$$
因此，通解为：
$$
x^2 y + xy^2 = C
$$
总结
全微分方程的通解可以通过判断其是否为全微分方程，再通过积分方法求出原函数 $ u(x, y) $，最终得到通解 $ u(x, y) = C $。掌握这一方法有助于快速解决某些特定类型的微分方程问题。
| 概念 | 内容 |
| 全微分方程 | 形如 $ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 $，且存在 $ u(x, y) $ 使得 $ du = Mdx + Ndy $ |
| 判断条件 | $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $ |
| 通解形式 | $ u(x, y) = C $ |
| 解法步骤 | 验证 → 积分 → 确定常数 → 写通解 |
