【三角函数变换公式总结】在数学学习中，三角函数的变换公式是解决三角问题的重要工具。掌握这些公式不仅有助于简化计算，还能提高解题效率。本文将对常见的三角函数变换公式进行系统总结，并通过表格形式清晰展示，便于查阅和记忆。
一、基本公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦与余弦的关系 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ |
| 正切与正割的关系 | $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ |
| 余切与余割的关系 | $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ |
二、诱导公式（角度转换）
| 角度变化 | 公式表达式 |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin\theta$ |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin(2\pi - \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(2\pi - \theta)$ | $\cos\theta$ |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos\theta$ |
三、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和角公式 | $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ |
| 正弦差角公式 | $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ |
| 余弦和角公式 | $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ |
| 余弦差角公式 | $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ |
| 正切和角公式 | $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ |
| 正切差角公式 | $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ |
四、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ |
| 余弦倍角公式 | $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ |
| 余弦倍角公式（另一种形式） | $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ |
| 余弦倍角公式（第三种形式） | $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ |
| 正切倍角公式 | $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |
五、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | $\sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ |
| 余弦半角公式 | $\cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ |
| 正切半角公式 | $\tan\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$ |
| 正切半角公式（另一种形式） | $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ |
六、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| $\sin A \cos B$ | $\frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ |
| $\cos A \sin B$ | $\frac{1}{2}[\sin(A + B) - \sin(A - B)]$ |
| $\cos A \cos B$ | $\frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ |
| $\sin A \sin B$ | $-\frac{1}{2}[\cos(A + B) - \cos(A - B)]$ |
七、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| $\sin A + \sin B$ | $2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
| $\sin A - \sin B$ | $2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
| $\cos A + \cos B$ | $2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
| $\cos A - \cos B$ | $-2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
结语
以上内容涵盖了三角函数变换中的主要公式，适用于考试复习、作业解答以及实际应用。建议结合具体题目练习，以加深理解和记忆。同时，注意公式的使用条件和符号变化，避免因忽略细节而导致错误。
