【数学期望常用公式】在概率论与数理统计中，数学期望（Expected Value）是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在长期试验中所表现的平均值。数学期望不仅在理论研究中具有重要意义，在实际应用中也广泛用于风险评估、决策分析、金融建模等领域。
以下是对常见随机变量数学期望公式的总结，帮助读者快速掌握其基本形式和应用场景。
一、离散型随机变量的数学期望
对于离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则其数学期望定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
二、连续型随机变量的数学期望
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则其数学期望定义为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
三、常见分布的数学期望
以下是几种常见的概率分布及其对应的数学期望公式：
| 分布名称 | 概率质量/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 0-1分布 | $ P(X=1)=p,\ P(X=0)=1-p $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
四、数学期望的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 可加性：对任意两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 常数的期望：若 $ c $ 是常数，则
$$
E(c) = c
$$
4. 乘积的期望：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X)E(Y)
$$
五、总结
数学期望是概率论中的核心概念之一，它反映了随机变量的“中心位置”。无论是离散型还是连续型随机变量，都可以通过相应的公式计算其数学期望。了解不同分布的期望值有助于我们在实际问题中进行合理的预测和分析。
掌握这些常用公式，能够帮助我们更高效地处理概率与统计问题，并在实际应用中做出科学决策。
